Question

如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BO？

（2）设△AQP的面积为S，

①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则新坐标（x₂﹣x₁，y₂﹣y₁）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．

Answer

（1）当t=秒时，PQ∥BO（2）①S=（0＜t＜），5②（，﹣3）

【解析】【解析】
（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。

∴。

如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。

∵PQ∥BO，∴，即，解得t=。

∴当t=秒时，PQ∥BO。

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，

则PD∥BO。

∴△APD∽△ABO。

∴，即，解得PD=6﹣t。

∴。

∴S与t之间的函数关系式为：S=（0＜t＜）。

∴当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。

②如图②所示，当S取最大值时，t=，

∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。

又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4。∴P（4，3）。

又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。

依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。

（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值。

（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得 求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。

②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。