Question

如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）

（1）求此抛物线的解析式．

（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，

①求证：PF=PR；

②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．

Answer

（1）y=﹣x2（2）①证明见解析②（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）③直角三角形

【解析】【解析】
（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，∴A、D关于抛物线的对称轴对称。

∵E是AB的中点，∴O是矩形ABCD对角线的交点。

又∵B（2，1），∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）。

∵抛物线的顶点为（0，0），∴可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=﹣1，a=﹣。

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2。

（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），

则：PF=

PR=，

∴PF=PR。

②∵RF=，∴若△PFR为等边三角形，则由①得RF=PF=PR，得：

=，即：a4﹣8a2﹣48=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12。

∴a=±2，﹣a2=﹣3。

∴存在符合条件的P点，坐标为（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）。

③同①可证得：QF=QS。

在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）。

同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）。

∵QS⊥BC、PR⊥BC，∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°。

∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°

∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形。

（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。

（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证。

②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可。

③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状。