Question

如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知∠A=α，∠B=β，且2α＋β=90⁰．

（1）求证：BC是⊙O的切线；（5分）

（2）若OA=6，，求BC的长．（5分）

Answer

（1）证明见解析（2）8

【解析】【解析】
（1）证明：如图，连接OC，

则∠BOC =2∠A=2α，  

∴∠BOC+∠B=2α＋β=900。

∴∠BCO=900，即OC⊥BC。

∴BC是的⊙O切线。

（2）∵OC=OA =6，由(1)知，OC⊥BC，

在Rt△BOC中，，即。∴OB=10。

∴。

（1）连接OC，则由等腰三角形等边对等角的性质和三角形外角性质得∠BOC =2∠A=2α，，从而由已知2α＋β=900，根据三角形内角和定理可求得∠BCO=90，即OC⊥BC。即BC是⊙O的切线。

（2）由已知OA=6，，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求BC的长。