Question

已知直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图，当点M与点A重合时，求：

①抛物线的解析式；（4分）

②点N的坐标和线段MN的长；（4分）

（2）抛物线在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

Answer

（1）①②N（，－4），（2）存在。点M的坐标为（2，－1）或（4，3）

【解析】【解析】
（1）①∵直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴A（，0），B（0，－5）。

当顶点M与点A重合时，∴M（，0）。

∴抛物线的解析式是：，即。

②∵N是直线与在抛物线的交点，

∴，解得或。

∴N（，－4）。

如图，过N作NC⊥x轴，垂足为C。

∵N（，－4），∴C（，0）

∴NC=4．MC=OM－OC=。

∴。

（2）存在。点M的坐标为（2，－1）或（4，3）。

（1）①由直线与x轴和y轴分别交于点A和点B，求出点A、B的坐标，由顶点M与点A重合，根据二次函数的性质求出顶点解析式。

②联立和，求出点N的坐标，过N作NC⊥x轴，由勾股定理求出线段MN的长。

（2）存在两种情况，△OMN与△AOB相似：

   情况1，∠OMN=900，过M作MD⊥x轴，垂足为D。

   设M（m，），则OD= m，DM=。

   又OA=，OB=5，

  则由△OMD∽△BAO得，，即，解得m=2。

∴M（2，－1）。

   情况2，

∠ONM=900，若△OMN与△AOB相似，则∠OMN=∠OBN。

 ∴OM=OB=5。

 设M（m，），则解得m=4。

∴M（4，3）。

综上所述，当点M的坐标为（2，－1）或（4，3）时，△OMN与△AOB相似。