Question

已知抛物线y=x² + 1(如图所示)．

 (1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；

 (2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；

 (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）（2）（，4）或（－ ，4）（3）存在。所有满足条件的点N的坐标为 (，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。

【解析】【解析】
（1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=0）。

（2）

∵△PAB是等边三角形，

∴∠ABO=90°－60°=30°。

∴AB=2OA=4。∴PB=4。

把y=4代入y=x2+1，得 x=±。

∴点P的坐标为（，4）或（－ ，4）。

（3）存在。所有满足条件的点N的坐标为

(，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。

（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可。

（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标。

（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标：设存在点M使得OAMN是菱形，

∵∠OAP＞900，∴OA不可能为菱形的对角线，只能为菱形的边。

若点P的坐标为（，4），∵点A的坐标为（0，2），

设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b，则，解得： 。 

∴AP所在直线的解析式为：y=x+2。

∵点M在直线AP上，∴设点M的坐标为：（m， m+2）。

如图，作MH⊥y轴于点H，

则MH= m，AN=OH－OA=m+2－2=m。

∵OA为菱形的边，∴AM=AO=2。

∴在Rt△AMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（m）2=22，

解得：m=±。∴M（，3）或（－，1）。

当M（，3）时，N（，1）；当M（－，1）时，N（－，－1）。

若点P的坐标为（－，4），同理可得N的坐标为（－，1）或（，－1）。

综上所述，存在点N（，1），（－，－1），（－，1），（，－1），使得

四边形OAMN是菱形。