Question

如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°．

（1）求证:AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求的长．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】【解析】
（1）证明：如图，连接OB，

∵BC=AB，∠CAB=30°，∴∠ACB=∠CAB=30°。

又∵OC=OB，∴∠CBO=∠ACB=30°。

∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°。

在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，∴∠ABO=90°，即AB⊥OB。

∴AB为圆O的切线。

（2）∵OB=2，∠BOD=60°，

∴的长度=。

（1）连接OB，如图所示，由BC=AB，利用等边对等角得到一对角相等，由∠CAB的度数得出

∠ACB的度数，再由OC=OB，利用等边对等角得到一对角相等，确定出∠CBO，由外角的性质求出∠AOB的度数，在△AOB中，利用三角形的内角和定理求出∠ABO为90°，可得出AB为圆O的切线。

（2）直接应用弧长公式计算即可。