Question

在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

   （1）请直接写出点B、C的坐标：B（   ，   ）、C（   ，   ）；并求经过A、B、C三点的抛物

线解析式；

   （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段

AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．

 ①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

 ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）B（3，0），C（0，），（2）①x=2②存在点P，证明见解析

【解析】【解析】
（1）B（3，0），C（0，）。

                ∵A（—1，0）B（3，0）

∴可设过A、B、C三点的抛物线为 。

                又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式 即。

（2）①当△OCE∽△OBC时，则。

∵OC=， OE=AE—AO=x－1， OB=3，∴。∴x=2。

 ∴当x=2时，△OCE∽△OBC。

 ②存在点P。

由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。

 ∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=60°。

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。

 ∵C（0，），∴M（2，）。

  过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN=。 ∴ EN=1。

∴ 。

若△PEM为等腰三角形，则：

ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。

                ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) 。        

                 ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，)

               ∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，

△EPM为等腰三角形。

（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。

（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。

     ②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。