Question

如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90° ,   ②OC=OE，   ③tan∠OCD =   ，④  中，正确的有【    】

A.1个         B.2个       C.3个         D.4个

Answer

C。

【解析】∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°。

∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3。

在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）。

∴∠CFD=∠BEC。∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°。

∴∠DOC=90°。故①正确。

如图，

若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE。

∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误。

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC。

∴tan∠OCD=tan∠DFC=。故③正确。

∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD。

∴S△EBC－S△FOC=S△FCD－S－，即S△ODC=S四边形BEOF。故④正确。故选C。