Question

已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．

（1）如图1，若AB=AC，AD=AE

①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；

②求∠BMC的大小（用α表示）；

（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE则线段BD与CE的数量关系为          ，∠BMC=          （用α表示）；

（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺

规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC=          （用α表示）．

Answer

（1）①BD=CE，理由见解析②180°－2α（2）BD=kCE，α（3）

【解析】【解析】
（1）如图1。

 ①BD=CE，理由如下：

∵AD=AE，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α。同理可得：∠BAC=180°－2α。∴∠DAE=∠BAC。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。

在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。

②∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA=∠CEA。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。

（2）如图2，BD=kCE，α。

（3）作图如下：

。

（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE。

②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出

∠BMC=∠DAE=180°－2α。

（2）∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=。

同理可得：∠BAC=。

∴∠DAE=∠BAC。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。

∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。

在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，∴△ABD∽△ACE。

∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA。∴BD=kCE。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=。

（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=：

∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=。

同理可得：∠BAC=。

∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE。

∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。

在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE。

∴∠BDA=∠CEA。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，

∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=+α=。