Question

已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）直接写出直线BC的函数表达式；

（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF

以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.

求：①s与t之间的函数关系式； ②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．

（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、

N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）y=x2－2x－3（2）直线BC的函数表达式为y=x－3（3）① ②当t =2秒时，S有最大值，最大值为（4）存在。M 1（－，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）

【解析】【解析】
（1）∵ A（－1，0）, ，∴C（0，－3）。

∵抛物线经过A（－1，0）,C（0，，3），

∴，解得。

∴抛物线的函数表达式y=x2－2x－3。

（2）直线BC的函数表达式为y=x－3。

（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，－2），

根据题意得：－2=m－3，∴m=1。

①当0＜t≤1时，S1=2t；

当1＜t≤2时，如图，

O1（t，0），D1（t，－2），

G（t，t－3），H（1，－2），

 ∴GD1=t－1，HD1= t－1。

∴S= 

。

∴s与t之间的函数关系式为

②在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。

（4）存在。M 1（－，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）。

（1）求出点C的坐标，即可根据A，C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。

（2）求出点B的坐标（3，0），即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式。

（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2讨论即可。

②由于在0＜t≤2上随t的增大而增大，从而在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为。

（4）由点P（1，k）在直线BC上，可得k=－2。∴P（1，－2）。

则过点P且平行于x轴的直线N1N2和在x轴上方与x轴的距离为2的直线N3N4，与y=x2－2x－3的交点N1、N2、 N3、N4的坐标分别为N1（，－2），N2（，－2）， N3（， 2），N4（， 2）。

则M1的横坐标为－PN1加点A的横坐标：－；

M2的横坐标为PN2加点A的横坐标：；

M3的横坐标为N3的纵坐标加N3的横坐标：；

M4的横坐标为N4的纵坐标加N4的的横坐标：。

综上所述，M 1（－，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）。