Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.

(1)求证：BD平分∠ABC；

(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD.

Answer

证明见解析

【解析】证明：（1）∵OD⊥AC  OD为半径，∴。

∴∠CBD=∠ABD。 ∴BD平分∠ABC。

（2）∵OB=OD，∠ODB=30°，∴∠OBD=∠ODB=30°。

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°。

又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°。

∴∠A=180°－∠OEA－∠AOD=180°－90°－60°=30°。

又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。

∴在Rt△ACB中，BC=AB 。

∵OD=AB，∴BC=OD。

（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得 ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC。

（2）由OB=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，求得∠AOD的度数；由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，从而根据含300角直角三角形中300角所对直角边是斜边一半的性质，可证得BC=OD。