Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x²+mx+n的图象经过A，C两点.

（1） 求此抛物线的函数表达式；

（2） 求证：∠BEF=∠AOE；

（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

Answer

（1）y=－x2－x+2（2）证明见解析（3）E坐标为E(－1， 1)或E(－， 2－)（4）P(0， 2)或P （－1， 2）

【解析】【解析】
（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。

∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2。

∵OC=AB，∴OC=2， 即C （0， 2）。

∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得

，解得：。

∴抛物线的表达式为y=－x2－x+2。

（2）证明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。

   又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。

（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论

①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°，

在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。

又∵∠AOB＝90°，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。

②如图①，

 当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。

在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。

∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。

又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。

∴BF=EF。∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 。∴ E(－1， 1)。

③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H ，

在△AOE和△BEF中，

∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF，

 ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。

∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。

∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。

在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2×=。

∴OH=OB－BH=2－2。∴ E(－， 2－)。

综上所述， 当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(－1， 1)或E(－， 2－)。

（4） P(0， 2)或P （－1， 2）。

（1）应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。

（2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。

（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。

（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(－， 2－)。

如图③所示，过点E作EH⊥y轴于点H，

则OH=FH=2－。

由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。

过点F作FN∥x轴，交PG于点N。

易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。

依题意，可得S△EPF=（）S△EDG=（）S△EFN，

∴PE：NE=。

过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－。

∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=。

∴PT=（）ST=（）（2－）=3－2。

∴PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。

∴2=－x2－x+2，解得x1=0，x2=－1。

∴P点坐标为(0， 2)或（－1， 2）。

综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍，点P的坐标为(0， 2)或（－1， 2）。