Question

两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

 （1）如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.

（2）如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.

（3）如图3，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinAED的值.

Answer

（1）过点C作CG⊥AB于G

在Rt△ACG中  ∵∠A＝60°

∴sin60°＝  ∴  ……………1分

在Rt△ABC中   ∠ACB＝90°∠ABC＝30°

∴AB=2   …………………………………………2分

∴………3分

（2）菱形………………………………………4分

∵D是AB的中点  ∴AD=DB=CF=1

在Rt△ABC中，CD是斜边中线  ∴CD=1……5分

同理 BF=1    ∴CD=DB=BF=CF

∴四边形CDBF是菱形…………………………6分

（3）在Rt△ABE中   

 ∴……………………………7分

过点D作DH⊥AE  垂足为H

则△ADH∽△AEB    ∴

即   ∴ DH=   ……8分

在Rt△DHE中 

sinα==…=  …………………9分

【解析】（1）根据平移的性质得到AD=BE，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC的面积．根据60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的长，从而求得其面积；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；

（3）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．