Question

如图1，已知，，．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．

（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；

（3）连接，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．

Answer

(1)过点M作MF⊥AB  垂足为F则MF是梯形的中位线

∴MF＝  …………………………1分

∴

即  且   ………………3分

（2）连结点M、F，过点D作DH⊥BC，垂足为H

  …………5分

解得    ……………………………………6分

（3）设线段BE＝x

易证∠DAM＝∠EBM

①当∠ADB＝∠MEB时

∵AD∥BE ∴∠AND＝∠DBE

∴∠DBE＝∠DEB  易得BE＝2AD=8  ……………8分

②当∠ADB＝∠BME时

∠ADB＝∠BMC＝∠DBC

又∵∠BMC＝∠DMB＋∠BDM

∴∠BDM＝∠MBC  ∴△BDE∽△MBE………………10分

∴  ∴

∵

∴

解得    ………………12分

【解析】（1）△ABM中，已知了AB的长，要求面积就必须求出M到AB的距离，如果连接AB的中点和M，那么这条线就是直角梯形的中位线也是三角形ABM的高，那么AB边上的高就是（AD+BE）的一半，然后根据三角形的面积公式即可得出y，x的函数关系式；

（2）根据以AB，DE为直径的圆外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根据BE，AD的差和AB的长，用勾股定理来表示出DE，然后根据上面分析的等量关系得出关于x的方程，即可求出x的值，即BE的长；

（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意．因此本题分两种情况进行讨论：

①当∠ADN=∠BME时，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出关于DE，BE，EM的比例关系式，即可求出x的值．

②当∠AND=∠BEM时，∠ADB=∠BEM，可根据这两个角的正切值求出x的值．