Question

已知二次函数y=x²＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.

（1）求这个二次函数的关系式；

（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.

（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？

Answer

【解析】
（1）由题意，得  解得  

∴二次函数的关系式是y=x2－1．                 

（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x．

由y=x，得x2－1=x，即x2－x－1=0，解得x=．

由y=－x，得x2－1=－x，即x2＋x－1=0，解得x=．

∴⊙P的半径为r=|x|=．                       

（3）设点P坐标为（x，y），∵⊙P的半径为1，

∴当y＝0时，x2－1=0，即x＝±1，即⊙P与y轴相切，

又当x＝0时，y＝－1，

∴当y＞0时，  ⊙P与y相离；

当－1≤y＜0时，  ⊙P与y相交.

【解析】（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x2+bx+c得到一个关于b、c的方程组，求出方程组的解即可得出二次函数的关系式；

（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，把y=±x分别代入由（1）求出的二次函数的关系式，求出x的值，即可得到半径r的值；

（3）设点P坐标为（x，y），先求出⊙P与y轴相切时x=±1，再根据圆与直线的位置关系的性质（r＜d时相离，r＞d相交）判断即可．