Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，联结EF、EC、BF、CF．

（1）四边形AECD的形状是         ；

（2）若CD=2，求CF的长．

Answer

【解析】
（1）四边形AECD的形状是 平行四边形      

（2）∵四边形AECD是平行四边形，∴AE=CD=2，

∵E是AB的中点，∴AE=EB=2，AB=4.    

∵四边形AECD是平行四边形，∴EC∥AD，

∴∠BEC=∠A=60°.

∴EC=4，BC=.

∴ AD=EC=4，          

∵F是AD的中点，∴AF=2，

∴△AEF是等边三角形，∴EF=2                    

∴∠FEC=60°

可证△ECF≌△ECB               

∴FC=BC=.  

【解析】（1）四边形AECD为平行四边形，理由为：由E为AB的中点，得到AE=BE=AB，又AB=2CD，即CD=AB，可得出DC=AE，又DC平行于AE，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AECD为平行四边形；

（2）由AECD为平行四边形且DC=2，得到AE=2，由E为AB的中点，得到AE=BE=2，可得出AB=4，又根据平行四边形的对边平行，得到EC与AD平行，再利用两直线平行同位角相等，由∠A为60°得到∠CEB为60°，在直角三角形EBC中，求出∠ECB为30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据EB的长求出EC的长，利用勾股定理求出BC的长，再由平行四边形的对边相等可得出AD=CE，求出AD的长，又F为AD的中点，求出AF=2，可得出三角形AFE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AEF为60°，又∠CEB为60°，利用平角的定义求出∠FEC为60°，即∠FEC=∠BEC，再由EF=EB，及公共边EC，利用SAS可得出三角形CFE与三角形CBE全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CF=CB，由CB的长即可得到CF的长．