Question

如图，AB是⊙的直径，弦CD与AB交于点E，过点作⊙的切线与的延长线交于点，如果，，为的中点．

（1）求证：；

（2）求AB的长．

Answer

【解析】
(1)联结

∵为的切线

∴⊥即=

∵为的中点，   ∴

∴    

∵为的直径，

∴

∵=

∴     

∴

(2) 作

∵⊥，∴

∵,，∴

可得                  

∵∴

中，

∴=：                   

在中，

∴                

【解析】（1）连接BC，由AF为圆O的切线，利用切线的性质得到AB与AF垂直，可得出∠DAF与∠DAB互余，再由D为EF的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及中点的定义得到AD=DE=DF，利用等边对等角得到∠DAF=∠AFC，又AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB为直角，即∠ECB与∠FCA互余，再由同弧所对的圆周角相等得到∠ECB=∠DAB，利用等角的余角相等可得出∠DAF=∠FCA，等量代换可得出∠FCA=∠AFC；

（2）过C作CG垂直于AB，垂足为G，又AF垂直于AB，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到AF与CG平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEF与三角形ECG相似，由相似得比例列出比例式，由DF=DE及DE与EC的比值，求出CE与EF的比值，可得出AF与CG的比值，又AF=AC，进而确定出AC与CG的比值，利用锐角三角形函数定义求出cos∠CAB的值，在直角三角形ABC中，由AC的长及cos∠CAB的值，利用锐角函数定义即可求出AB的长．