Question

已知：关于的方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）抛物线：与轴交于、两点．若且直线:经过点,求抛物线的函数解析式；

（3）在（2）的条件下，直线:绕着点旋转得到直线：，设直线与轴交于点，与抛物线交于点（不与点重合），当时，求的取值范围．

Answer

【解析】
（1）

∵方程有两个不相等的实数根

∴

∴                

（2）   抛物线中，令，则

，

解得：，     

∴抛物线与轴的交点坐标为和

∵直线:经过点

当点坐标为时，

解得

当点坐标为时

，

解得或                 

又∵

∴且

∴抛物线的解析式为；

（3）设

①当点在点的右侧时，

可证

若，则，

此时,

过点的直线：的解析式

为

时 ，

求得    

②当点与点重合时直线与抛物线只有一个公共点

解得

令,求得   

③当点在点的左侧时

可证

若，则，此时,

，解得

综上所述，当时且 

【解析】（1）方程有两个不等的实数根，则判别式△＞0，据此即可得到关于m的不等式求得m的范围；

（2）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，经过点,则A可能是两个交点中的任意一个，分两种情况进行讨论，把点的坐标代入直线的解析式，即可求得m的值；

（3）设出M点的坐标，当点M在A点的右侧时，可得据此即可求得M的横坐标，则M的坐标可以得到，代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k值；

当点M与A点重合时直线l2与抛物线C只有一个公共点，则两个函数解析式组成的方程组，只有一个解，利用根的判别式即可求解；当点M在A点的左侧时，可证，可以求得M的横坐标，则M的坐标可以得到，代入函数解析式，利用待定系数法即可求得k值．