Question

（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；

（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形， AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．

①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；

②当时，上述结论成立；

当 时，上述结论不成立．

Answer

（1）∠BMD= 3 ∠ADM                         

（2）联结CM，取CE的中点F，联结MF，交DC于N

∵M是AB的中点，∴MF∥AE∥BC，

∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，

∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.            

∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中点，

∴ME=MC，∴∠1=∠2. 

∴∠1=∠2=∠3.

∴∠BME =3∠AEM.   

（3）当0°<∠A<120°时，结论成立；

当时，结论不成立.

【解析】（1）求出AM=AD，得到△ADM是等腰直角三角形，然后求出∠BMD与∠ADM的度数，从而得解；

（2）①连接CM，取CE的中点F，连接MF，交DC于N，根据平行线分线段成比例定理可得MF∥AE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEM=∠1，∠2=∠4，再根据AB=2BC，M是AB的中点，利用等边对等角的性质求出∠3=∠4，根据三角形三线合一的性质求出∠1=∠2，从而得解；

②求出当点E与点A重合时的∠A的度数，即为临界值，小于临界值，点E在射线AD上，成立，否则不成立．