Question

已知二次函数中，m为不小于0的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点C是抛物线与轴的交点，已知AD=AC（D在线段AB上），有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q从点C出发，以某一速度沿线段CB移动，经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情况下，求四边形ACQD的面积．

Answer

（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点，

∴

∴.                                 

∵m为不小于0的整数，∴m取0、1.      

当m=1时，，图像与x轴的两个交点在原点的同侧，不合题意，舍去；

当m=0时，，符合题意.

∴二次函数的解析式为：    

（2）∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD

 ∵CD垂直平分PQ，∴DP=DQ，∴∠ADC=∠CDQ.

 ∴∠ACD=∠CDQ，∴DQ∥AC

 ∴△BDQ∽△BAC，∴         

 ∵AC=，BD=，AB=4.

∴DQ=，                            

∴PD=.     ∴AP=AD-PD=，

 ∴t=                       

（3）∵△BDQ∽△BAC

∴

易求，∴  

∴.              

【解析】（1）根据二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△＞0，求出m的取值范围，结合m为不小于0的整数，

求出m的整数解；再将整数解代入二次函数解析式，找到符合题意的二次函数；

（2）根据题意画出图象，证出DQ∥AC，从而得到△BDQ∽△BAC，然后利用相似三角形的性质求出t的值；

（3）由于△BDQ∽△BAC，求出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，二者相减，即可得到