Question

四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：

（1）如图（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；

（2）如图（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA²+PC²=PB²+PD²；

（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．

Answer

（1）证明：作BC的中垂线MN，在MN上取点P，连接PA、PB、PC、PD，

如图（1）所示，∵MN是BC的中垂线，所以有PA=PD，PC=PB，

又四边形ABCD是矩形，∴AC=DB，∴△PAC≌△PDB（SSS）

（2）证明：过点P作KG//BC ，如图（2）

∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC

∴AB⊥KG，DC⊥KG， ∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2

同理，PC2=CG2+PG2 ；PB2= BK2+ PK2，PD2=+DG2+PG2

PA2+PC2= AK2+PK2+ CG2+PG2， ，PB2+ PD2= BK2+ PK2 +DG2+PG2

AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB ，可证得四边形ADGK是矩形，

∴AK=DG，同理CG=BK ，

∴AK2=DG2，CG2=BK2    

∴PA2+PC2=PB2+PD2

（3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3）

∴BC=4，AB=2   ∴=4×2=8

作直线HI垂直BC于点I，交AD于点H

①当点P在直线AD与BC之间时

即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=4－x 

②当点P在直线AD上方时，

即y －x =4，因而y与x的函数关系式为y=4+x

③当点P在直线BC下方时，

即x － y =4，因而y与x的函数关系式为y=x－4 

【解析】（1）利用三角形三边关系对应相等得出△PAC≌△PDB即可；

（2）利用已知可证得四边形ADGK是矩形，进而得出，，即可得出答案；

（3）结合图形得出当点P在直线AD与BC之间时，以及当点P在直线AD上方时和当点P在直线BC下方时，分别求出即可．