Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B =60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．

（1）①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；

②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；

（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

Answer

（1）①30，1；②60，1.5；

（2）四边形EDBC是菱形．           

证明：∵α=90°，∠ACB=90°，∴DE∥BC．

∵CE∥AB，∴四边形EDBC是平行四边形． 

∵点O是AC的中点，∴△CEO≌△ADO．

∴OE=OD，即DE=2OE．                   

∵∠OCE=30°，∴CE=2OE．

∴CE=DE．

∴平行四边形EDBC是菱形．

【解析】（1）根据旋转的性质和等腰梯形的性质，先假设四边形EDBC是等腰梯形，根据题目已知条件及外角和定理可求α的度数；

（2）根据旋转的性质和直角梯形的性质，先假设四边形EDBC是直角梯形，根据题目已知条件及外角和定理可求α的度数；

先根据平行四边形的定义判定四边形EDBC是平行四边形，再得到△CEO≌△ADO，以及含30°的直角三角形的性质可以得到CE=DE，根据邻边相等即可判定平行四边形EDBC是菱形．