Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．

Answer

（1）如图，连接OC．  

∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，

∴∠1＝∠2．                      

∵OA=OC，

∴∠2＝∠3．  

∴∠1＝∠3．

∴OC∥AE．

∴OC⊥CD．

∴DE是⊙O的切线．

（2）∵AB=6，

∴OB=OC=AB=3．

在Rt△OCD中，OC=3，OD=OB+BD=6，

∴∠D＝30°，∠COD＝60°．

在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，

∴AE＝AD=．

在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形．

∴BC=OB=3．

【解析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．

（2）先根据直径求出半径，再根据含30°的直角三角形的性质即可求得结果。