Question

如图，抛物线y=x²＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴相交于A，B两点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，―4)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点Q是线段OB上的动点，过点Q作QE//BC，交AC于点E，连接CQ，设OQ=m，当△CQE的面积最大时，求m的值，并写出点Q的坐标．

（3）若平行于x轴的动直线，与该抛物线交于点P，与直线BC交于点F，D的坐标为(－2，0)，则是否存在这样的直线l，使OD=DF？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）故所求抛物线的解析式为y=x2＋x―4．         

（2）点Q的坐标为（―1，0）．                   

（3）若存在，

∵点B的坐标为（―4，0），D的坐标为(－2，0)，DO=DF，

∴DB=DF．∴∠ABC=∠BFD．

∵OC=OB，∠ABC=∠BCO=45°．

∴∠ABC=∠BFD=45°．

∴FDAB．

则F（―2，―2）．

∴x2＋x―4=―2．解得x1=―1―，x2=―1＋．

所以点P的坐标为（―1―，―2）或（―1＋，―2）．       

【解析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案；

（2）首先求出△AEQ∽△ACB进而得出，再利用得出关于m的二次函数关系进而得出答案；

（3）得出F（-2，-2）进而代入求出P点坐标即可．