Question

如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．

（1）求出二次函数的解析式；

（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；

（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）设y=ax（x﹣4），把A点坐标（3，3）代入得：a=﹣1，

函数的解析式为y=﹣x2+4x， …………………………………………………4分

（2）0＜m＜3，PC=PD﹣CD=﹣m2+3m，=﹣+，……………… 6分

∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，

当D（，0）时，PCmax=，…………………………………………………8分

（3）P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．

………………………………………………………………………12分

（3）简单解答过程如下：

当0＜m＜3时，仅有OC=PC，∴，解得，

∴；

当m≥3时，PC=CD﹣PD=m2﹣3m，OC=，

由勾股定理得：OP2=OD2+DP2=m2+m2（m﹣4）2，

①当OC=PC时，，

解得：，

∴；

②当OC=OP时，，

解得：m1=5，m2=3（舍去），

∴P（5，﹣5）；

③当PC=OP时，m2（m﹣3）2=m2+m2（m﹣4）2，

解得：m=4，

∴P（4，0），

存在P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．

【解析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案；

（2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；

（3）当0＜m＜3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，OC=m，分为三种情况：①当OC=PC时，m2-3m=m，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC=OP时，③当PC=OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．