Question

如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。

（1）   求证：△ABE∽△ECM;

（2）   探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）   当线段AM最短时，求重叠部分的面积。

Answer

（1）见解析

（2）【解析】
∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，

当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴，

∴CE=，

∴BE=6﹣=；

（3）

【解析】（1）由AB=AC得∠B=∠C，由△ABC≌△DEF得∠AEF=∠B，即得△ABE∽△ECM；

（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，得∠AME＞∠AEF，则AE≠AM；当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，根据对应边相等即可求得BE的长；当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，即可证得△CAE∽△CBA，根据对应边成比例即可求得BE的长；

（3）设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据对应边成比例即可表示出CM的长，从而可以表示出AM的长，根据二次函数的性质即可求得结果。