Question

已知，如图抛物线y＝ax²＋3ax＋c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD的面积的最大值；

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

 (1)∴y＝x2＋x－3

(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N.

∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋·DM·(AN＋ON)＝＋2DM.

∵A(－4,0)，C(0，－3)，

设直线AC的解析式为y＝kx＋b，

代入求得：y＝－x－3，

令D，M，

则DM＝－x－3－＝－ (x＋2)2＋3.

当x＝－2时，DM有最大值3，此时四边形ABCD面积有最大值.

(3)如图①所示，讨论：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，

∵C(0，－3)，令x2＋x－3＝－3得x1＝0，x2＝－3，

∴CP1＝3.∴P1(－3，－3)．

②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，

当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，

∵C(0，－3)，

∴可令P(x,3)，由x2＋x－3＝3得：x2＋3x－8＝0，

解得x1＝或x2＝，

此时存在点P2和P3.

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1(－3，－3)，P2，P3.

【解析】（1）先求出抛物线的对称轴，再由OC＝3OB＝3，a>0，即可求得C点坐标，由B(1,0)、C(0，－3)根据待定系数法即可求出函数解析式；

（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。先表示出四边形ABCD的面积，再求出直线AC的函数解析式，即可表示出DM的长，根据二次函数的性质即可得到结果；

分情况讨论：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形。