Question

观察下列等式：

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.

根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：

（1）① 52×       ＝        ×25；

②        ×396＝693×       .

（2）设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且2≤≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含、），并证明.

Answer

【解析】
（1）①∵5+2=7，

∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，

∴52×275=572×25，

②∵左边的三位数是396，

∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，

63×369=693×36；

故答案为：①275，572；②63，36．

（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，

∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，

右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，

∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），

证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，

=（10a+b）（100b+10a+10b+a），

=（10a+b）（110b+11a），

=11（10a+b）（10b+a），

右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），

=（100a+10a+10b+b）（10b+a），

=（110a+11b）（10b+a），

=11（10a+b）（10b+a），

左边=右边，

所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．

【解析】（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；

（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．