Question

已知：如图①，在中，，，，点 由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：

（1）当为何值时，？

（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

Answer

（1）  ……2分

（2）……3分

（3）不存在，若存在AP+AQ=6，此时t=1再验证面积为2.4，而三角形总面积为6，故不平分……3分

（4）连结PP，存在，……3分       边长等于……3分

【解析】（1） 当PQ//BC时，知三角形APQ相似三角形ABC，所以有2t ：（5-t）=4：5 ，解得，t =10/ 7

（2）过P作PD垂直AC于D，则三角形APD相似三角形ABC，所以AP：AB=PD：BC

所以（5-t）：5= PD：3 ，所以PD= 3（5-t）/5

 所以y= 1/2 2t3（5-t）/5  = -3/5 t2 +3t

(3) 把y= 6代入y= -3/5 t2 +3t

得 6 =-3/5 t2 +3t

 化简得， t2 -5t+10=0

因△<0,所以此方程无解，所以这样的时刻不存在

（4）过P作PD垂直BC，若四边形PQP'C是菱形，则PD垂直平分QC，

所以AD= 4-（4-2t）/2  = 2+t   PD：BC=AP：AB   PD：3= （5-t）：5，所以

PD=3（5-t）/5    因AD：AC=PD：BC  ，所以 （2+t）：4 = 3（5-t）/5 ：3

解得，t=  10/9      所以PD= 7/3 ，  QD= 2-t =8/9   ，利用勾股定理可求PQ