Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？

Answer

【解析】
（1）证明：在△ABC和△CDA中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D，AC=CA，

∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；………………2分

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=

设经过ts时，△ABP为等腰三角形．当P在BC上时，

①BA=BP=3，即t=3时，△ABP为等腰三角形；………………3分

②BP=AP=，即t=时，△ABP为等腰三角形；………………4分

③AB=AP．过A作AE⊥BC，垂足为E，AE=………………5分

在Rt△ABE中，BE=………………5分

所以BP=2BE=，即t=时，△ABP为等腰三角形；………………6分

当P在CD上不能得出等腰三角形

当P在AD上时，只能BE=AP=3，所以BC+CD+DP=10，即t=10时，△ABP为等腰三角形．

答：从运动开始经过s或3s或s或10s时，△ABP为等腰三角形．………………8分

【解析】（1）利用AAS先证明△ABC≌△CDA，可得AD=BC，AB=CD，所以可证四边形ABCD是平行四边形；

（2）利用勾股定理先求得AC的长，再根据点P在BC上，点P在CD上，点P在AD上三种情况，结合等腰三角形的判定和勾股定理进行计算即可．