Question

如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，N、M分别为AC、BD的中点，

求证：（1）MN∥BC；（2）MN= （BC-AD）．

Answer

证明：（1）取AB中点P，连MP，NP，

∵M为BD的中点，

∴PM∥AD，

同理NP∥BC，

∵AD∥BC，

∴N、M、P三点共线，

∴MN∥BC．

（2）法一：∵MN∥BC，N、M分别为AC、BD的中点，

∴P是AB的中点，

∴PN=BC，PM=AD，

∴MN═（BC-AD）．

法二：如图所示，连接AM并延长，交BC于点G．

∵AD∥BC，

∴∠ADM=∠GBM，∠MAD=∠MGB，

又∵M为BD中点，

∴△AMD≌△GMB．

∴BG=AD，AM=MG．

在△AGC中，MN为中位线，

∴MN=GC=（BC-BG）=（BC-AD），

即MN=（BC-AD）．

【解析】（1）取AB中点P，连MP，NP，证N、M、P三点共线即可；

（2）连接AM并延长，交BC于点G，证明△AMD≌△GMB，根据中位线定理即可证明。