Question

操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（本题12分）

探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；

探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的长度。

Answer

【解析】
（1）如图

（2）结论：AB=AF+CF．

证明：分别延长AE、DF交于点M．

∵E为BC的中点，

∴BE=CE，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠M，

在△ABE与△MCE中，

∴△ABE≌△MCE，

∴AB=MC，

又∵∠BAE=∠EAF，

∴∠M=∠EAF，

∴MF=AF，

又∵MC=MF+CF，

∴AB=AF+CF；

（3）分别延长DE、CF交于点G．

∵AB∥CF，

∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，

∴△ABE∽△GCE，

∵AB=5，

∴GC=10，

∵FC=1，

∴GF=9，

∵AB∥CF，

∴∠BAE=∠G，

又∵∠BAE=∠EDF，

∴∠G=∠EDF，

∴GF=DF，

∴DF=9．

【解析】（1）根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据，来画出全等三角形．

（2）本题可通过作辅助线将AB，FC，AF构建到一个相关联的三角形中，可延长AE、DF交于点M，不难证明△ABE≌△MCE，那么AB=CF，现在只要将AF也关联到三角形BEC中，我们发现，∠BAE=∠EAF，∠BAE=∠M（AB∥CD），那么三角形AMF就是个等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC；

（3）本题的作法与（2）类似，延长DE、CF交于点G，不难得出△ABE∽△GCE，

可根据线段的比例关系和AB的值得到CG的值，然后就能得出FG的值，同（2）可得出△DFG是等腰三角形，那么DF=GF，这样就求出DF的值了．