Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．

（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由．

（2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?并加以证明．

（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论．

Answer

（1）四边形EGFH是平行四边形．（2）点E是AD中点时，四边形EGFH是菱形．（3）EF⊥BC，EF=BC．证明见解析

【解析】（1）证明四边形EGFH是平行四边形即可；（2）证明四边形EGFH是菱形即可；（3）因为四边形EGFH是正方形，所以EG=EH，∠BEC=90º．因为点G、H分别是BE、CE中点，所以BE=EC．即△BEC为等腰直角三角形．因为点F是BC中点，所以EF⊥BC，EF=BC

（1）四边形EGFH是平行四边形．

理由：因为点G、F、H分别是BE、BC、CE中点，所以GF∥EH，GF=EH．所以四边形EGFH是平行四边形．

（2）点点E是AD中点时，四边形EGFH是菱形．

理由：因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AB=CD，∠A=∠D．因为AE=DE，所以△ABE≌△DCE．所以BE=CE．因为点G、H分别是BE、CE中点，所以EG=EH．又由（1）知四边形EGFH是平行四边形，所以四边形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，EF=BC．

理由：因为四边形EGFH是正方形，所以EG=EH，∠BEC=90º．因为点G、H分别是BE、CE中点，所以BE=EC．即△BEC为等腰直角三角形．因为点F是BC中点，所以EF⊥BC，EF=BC