Question

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么.

(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

Answer

（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．

连接AC，BD，

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC，EF=AC

同理HG∥AC，HG=AC

∴EF∥HG，EF=HG

∴EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．

∵四边形EFGH为正方形，

∴EH⊥EF，EH=EF，

∵E、H、F分别是AB、DA、BC的中点，

∴EH=BD，EF=AC，

∴BD=AC，

∵EH为三角形ABD的中位线，

∴EH∥BD，

∴∠HEF=∠ENM=90°，

∵EF为三角形ABC的中位线，

∴EF∥AC，

∴∠AMN=90°，

∴AC⊥BD，

∴ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

【解析】（1）连接AC，利用中位线定理即可证明四边形EFGH是平行四边形；

（2）由于四边形EFGH为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等