Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°.

求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．

∵正方形ABCD中，∠B=90°，∠AMN­=90°

∴∠1=180°-∠AMN­-∠AMB =180°-∠B-∠AMB=∠2

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

Answer

（1）∵AE=MC，

∴BE=BM，

∴∠BEM=∠EMB=45°，

∴∠AEM=135°，

∵CN平分∠DCP，

∴∠PCN=45°，

∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：

∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN

∴△AEM≌△MCN，

∴AM=MN；

（2）仍然成立．

在边AB上截取AE=MC，连接ME，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACP=120°，

∵AE=MC，

∴BE=BM，

∴∠BEM=∠EMB=60°，

∴∠AEM=120°，

∵CN平分∠ACP，

∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°，

∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，

∴△AEM≌△MCN，

∴AM=MN．

【解析】（1）由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由两角夹一边即可判定三角形全等；

（2）还是利用两角夹一边证明其全等，证明方法同（1）．