Question

如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R.

（1）求证：DP=CG；

（2）判断△PQR的形状，请说明理由.

Answer

【解析】
（1）证明：在正方形ABCD中，

AD=CD，∠ADP=∠DCG=90°，

∠CDG+∠ADH=90°，

∵DH⊥AP，∴∠DAH+∠ADH=90°，

∴∠CDG=∠DAH，

∴△ADP≌△DCG，

∵DP，CG为全等三角形的对应边，

∴DP=CG．

（2）△PQR为等腰三角形．

∠QPR=∠DPA，∠PQR=∠CQE，

∵CQ=DP，由（1）的结论可知

∴CQ=CG，∵∠QCE=∠GCE，CE=CE，

∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE=∠CGE，

∴∠PQR=∠CGE，

∵∠QPR=∠DPA，且（1）中证明△ADP≌△DCG，

∴∠PQR=∠QPR，

所以△PQR为等腰三角形．

【解析】（1）正方形对角线AC是对角的角平分线，可以证明△ADP≌△DCG，即可求证DP=CG．

（2）由（1）的结论可以证明△CEQ≌△CEG，进而证明∠PQR=∠QPR．故△PQR为等腰三角形．