Question

如图正方形ABCD和正方形EFGH，F和B重合，EF在AB上，连DH（本题14分）

⑴、由图⑴易知，

①线段AE=CG， AE和CG所在直线互相垂直，且此时易求得②         。

⑵、若把正方形EFGH绕F点逆时针旋转度（图2），⑴中的两个结论是否仍然成立？若成立，选择其中一个加以证明，若不成立，请说明理由。

⑶、若把图⑴中的正方形EFGH沿BD方向以每秒1cm的速度平移，设平移时间为x秒，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为5cm和1cm，

①在平移过程中，△AFH是否会成为等腰三角形？若能求出x的值，若不能，说明理由．

②在平移过程中，△AFH是否会成为等边三角形？若能求出x的值，若不能，设正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为acm和bcm，则当a、b满足什么关系时，△AFH可以成为等边三角形．

Answer

【解析】
（1）∵AE=CG，∴

（2）∵正方形ABCD和正方形EFGH，

∴∠ABC=∠=EBG=90°，

∴∠α=90°-∠ABG，∠CBG=90°-∠ABG，

∴∠α=∠CBG，

由于AB=BC，EB=BG，

∴△AEB≌△CGB，∴AE=CG．

∴（1）中的两个结论都成立．

1，当ABCD边长=5，EFGH=1时候，，△AFH不会成为等边三角形。

 设ABCD边长为a，EFGH边长为b，连接AC，AC与BD相交于K点（AC与BD相互垂直平分，不用证明了吧）

AK = a，FK= b，

AF2=AK2 +FK2，既AF2=a2 /2+b2/2

若△AFH为等边三角形，那么AK= b

所以：2b2=a2/2+b2/2

即：a：b=：1

所以：当ABCD的边长是EFGH边长的倍时候，△AFH可以为正三角形。

【解析】（1）连接DB，可证明△DHG≌△DHE，再由AE=CG，可直接得出结论．

（2）先求证∠α和∠CBG相等，利用SAS求证△AEB≌△CBG，即可．

（3）①根据等腰三角形的性质，考虑底和腰的特征即可；

②根据等边三角形的性质即可得到结果。