Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．

 

 (1)若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；

 (2)求证：∠MPB＝90°－∠FCM．  

Answer

(1) 连结MD,

  E是DC的中点，且ME⊥DC

   EM是CD的垂直平分线

   MD=MC

   △AMD和△FMC中

       AM=FM

       MD=MC

       AD=FC

   △AMD△FMC  (SSS)

   MAD=MFC=125

   又AD∥BC  且∠ABC=90

       BAD=90

       MAB=35

       MB=AM

      即MB=MF

      MF=2MB

 (2)  MD=MC 且ME⊥DC       

         ME平分DMC

        FMC=DMC

        又 AD∥MC

           DMC=ADM

        又△AMD△FMC

          ADM=FCM

          DMC=FCM

          FMC=FCM

          Rt△BPM中

          MPB=90-FMC

          =90-FCM

【解析】（1）连接MD，由于点E是DC的中点，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC，根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接着得到∠MAB=30°，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM；

（2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题．