Question

如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer

（1）由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，

∴出发2秒后，则CP=2，

∵∠C=90°，

∴PB==，

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7．

（2）若P在边AC上时，BC=CP=3cm，

此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有两种情况：

i）若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，

所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

ii）若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，

根据勾股定理求得BP=3.6cm，

所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，

则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；

（3）当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t+2t﹣3=6，

∴t=2；

当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t﹣4+2t﹣8=6，

∴t=6，

∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

【解析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．

（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．

（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3=6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6．