Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线与轴相交于点B，连结OA，抛物线从点O沿OA方向平移，与直线交于点P，顶点M到A点时停止移动．

（1）求线段OA所在直线的函数解析式；

（2）设抛物线顶点M的横坐标为,①用的代数式表示点P的坐标；②当为何值时，线段PB最短；

（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在异于M的点Q，使△PQA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设OA所在直线的函数解析式为，

∵A（2，4），∴2=4，∴=2，

∴OA所在直线的函数解析式为．                       

（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段OA上移动，

∴=2（0≤≤2）∴顶点M的坐标为（，）

∴抛物线函数解析式为

∴当=2时，=（0≤≤2）

∴点P的坐标是（2，）．                      

②∵PB=，

又∵0≤≤2，

∴当=1时，PB最短．                                  

（3）存在                                             

由（2）②知：此时抛物线的解析式为，M（1，2）；

∴ M到AP的距离是1，

∴ Q到AP的距离也是1，

∴ Q的横坐标是3

当时，=6

此时Q的坐标是（3，6） 

【解析】（1）由于直线OA是正比例函数，根据点A的坐标，即可确定该直线的解析式．

（2）①根据直线OA的解析式，可用m表示出点M的坐标，进而可表示出平移后的抛物线解析式，然后将x=2代入平移后的抛物线解析式中，即可得到点P的坐标；

②点P的纵坐标即可为线段PB的长，根据二次函数的性质可求得PB的最小值及对应的m的值；

（3）若△QMA的面积与△PMA的面积相等，则P、Q到直线OA的距离相等，即可得到点Q的横坐标，再代入抛物线解析式即得结果。