Question

如图，在直角坐标系中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC＝CD，OD＝2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为.试解决下列问题：

（1）填空：点D坐标为      ；

（2）设点B横坐标为，请把BD长表示成关于的函数关系式，并化简；

（3）等式BO＝BD能否成立？为什么？

（4）设CM的延长线与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状（无需证明）．

Answer

（1）；                       

（2）

   ① 

  ②       

   （3）若OB=BD，则

由①得     

得

∴△，∴此方程无解

∴OB≠BD                          

   （4）如果△BDE为直角三角形，

①当∠EBD=90º时，此时四边形BDCF为直角梯形．    

②当∠EDB=90º时，此时四边形BDCF为菱形          

【解析】（1）在Rt△OCD中，根据勾股定理易求;

（2）根据Rt△OAB的面积是可求出B点的坐标，因为，所以把B点的坐标代入可得BD长，即可表示成关于t的函数关系式．

（3）假设OB=BD，在Rt△OAB中，用t把OB表示出来，根据题（2）中用t表示的BD．两者相等，可得一二次函数表达式，用根的判别式判断是否有解．

（4）两种情况，先假设∠EBD=90°时（如图2），此时F、E、M三点重合，根据已知条件此时四边形BDCF为直角梯形，然后假设∠EDB=90°时（如图3），根据已知条件，此时四边形BDCF为平行四边形，在Rt△OCD中，OB2=OD2+BD2，用t把各线段表示出来代入，可求出，即此时四边形BDCF为菱形．