Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形。

（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；

（2）△PBE是否构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时CE的长，直接写出结果）；若不能请说明理由。

Answer

【解析】
1）PD=PE。以图②为例，连PC

       ∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，

∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，  …………………………………… 1分

又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°

∴∠DPC=∠EPB………………………1分

∴△DPC≌△EPB（AAS）………………………1分

∴PD=PE…………………………………1分

2）能，①当EP=EB时，CE=…………………………………1分

       ②当EP=PB时，点E 在BC上，则点E和C重合，CE=0………1分

       ③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=……………1分

                      若点E在CB的延长线上，则CE=………1分

【解析】（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE．

（2）分为点C与点E重合、CE=、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明．