Question

在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，方法是(如图)：画线段AB，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC延长线于点D，连接DB.则△ABD就是直角三角形.

  (1)请你说明工人师傅可以这么做直角三角形的理由；

  (2)请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°(不写作法，保留作图痕迹).

Answer

【解析】
(1)如图，连接BC，

由作图可知，AC=BC=CD，

∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB.

∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°，

∴2∠ABC+2∠CBD=180°.

∴∠ABC+∠CBD=90°.即∠ABD=90°.

∴△ABD是直角三角形.

(2)如图所示，

则△EFG就是所求作的直角三角形，其中∠EGF=30°.

【解析】（1）由作图可知，△ABC是以点C为圆心，AD为直径的圆内接三角形，故由直径对的圆周角定理是直角知，∠ABC=90°；

（2）线段EF，分别以点E，F为圆心，以EF的长为半径画弧，两弧相交于点C，连接EC；再以点C为圆心，以EC长为半径画弧，交EC延长线于点G，连接FG．则△EFG就是直角三角形，其中∠EGF=30°．