Question

如图，已知在等腰直角三角形中，， 平分，与相交于点，延长到，使，延长交于，

（1）试说明：；

（2）试说明：△ABC是等腰三角形；

(3) 试说明：；

Answer

【解析】
（1）∵是等腰直角三角形

∴，

∵；

∴，

（2）∵，

∴∠DBF = ∠DCA，∠A= ∠BFD

∵平分，

∴

∴∠FBC = ∠DCA,

∴∠BFD=∠FBC+∠FCB = ∠FCB+∠ACD=∠ACB

∴∠A=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

 （3）∵△ABC是等腰三角形，BE平分∠ABC，

          ∴AE=EC=AC

          ∵AC=BF

           ∴

【解析】（1）由已知等腰直角三角形△DBC可推出DB=DC，且∠BDF=∠ADC=90°，与已知DA=DF通过SAS证得△FBD≌△ACD；

（2）由得∠DBF = ∠DCA，∠A= ∠BFD，根据平分，可得，即得∠FBC = ∠DCA，从而可得∠A=∠ACB，即可证得△ABC是等腰三角形；

（3）由△ABC是等腰三角形，BE平分∠ABC，可得AE=EC=AC，从而得证。