Question

梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃ ，且S₁ +S₃ =9S₂，则CD=（    ）

A.2.5AB        B.3AB  

C.3.5AB           D.4AB

Answer

D

【解析】【解析】
如图，作AO∥BC交DC于O点，AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，

∴AB=OC，AO=BC，∠DAO=90°，

∵以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，

∴S1=AM×MD=AM2，

根据勾股定理得：AM2+MD2=AD2，

∵AM=MD，

∴2AM2=AD2，

∴S1= ，

同理：∵S2=AN2•，2AN2=AB2，∴S2=，

同理：∵S3=BP2•，2BP2=BC2，∴S3=，

∵S1+S3=9S2

∴

∴（DC-AB）2=9AB2

∴（CD-4AB）（CD+2AB）=0，

∴CD=4AB，CD=-2AB（不合题意，舍去）

故选D．