Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=3，AB=6．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在点P从O向A运动的过程中（不包括A、O），求△APQ的面积S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；

（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：

四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

Answer

（1）直线AB的解析式为                          （1分）

（2）

                                  （2分）

（）                                          （1分）

（3）四边形QBED能成为直角梯形．

①（Ⅰ）当DE∥QB时，

∵DE⊥PQ，

∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

此时∠AQP=90°．

由（2）得AP=2AQ，即3-t=2t                                   （2分）

解得t= 1；                                                    （1分）

（Ⅱ）当PQ∥BO时，

∵DE⊥PQ，

∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ=90°．

由（2）得AQ=2AP，即2（3-t）=t                               （1分）

解得t= 2   

【解析】（1）首先由在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，求得OB的值，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）过点Q作QF⊥AO于点F，由△AQF∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例，借助于方程即可求得QF的长，然后即可求得△APQ的面积S与t之间的函数关系式；

（3）分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；