Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B，且其顶点在⊙C上．

（1）求出A、B两点的坐标；（5分）

（2）试确定此抛物线的解析式；（5分）

（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

Answer

（1）作CH⊥x轴，垂足为H，

根据垂径定理，得 AH=BH.

∵ CH=1，半径CB=2，

根据勾股定理，得HB =

故，

（2）由圆与抛物线的对称性可知，抛物线的顶点P的坐标为（1， 3）

设抛物线解析式为

把点代入上式，解得a = -1    

∴             

即 （没有这一步不扣分）

（3）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形.

∴ PC∥OD且PC=OD．

∵ PC∥y轴，

∴ 点D在轴上．   

又∵ PC = 2，

∴ OD = 2，即D（0，2）．

又D（0，2）满足，

∴ 点D在抛物线上

所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．

【解析】（1）根据垂径定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的长，再根据C点的坐标即可得出A、B两点的坐标．

（2）根据抛物线和圆的对称性，即可得出圆心C和P点必在抛物线的对称轴上，因此可得出P点的坐标为（1，3）．然后可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式．根据A或B的坐标即可确定抛物线的解析式．

（3）如果OP、CD互相平分，那么四边形OCPD是平行四边形．因此PC平行且相等于OD，那么D点在y轴上，且坐标为（0，2）．然后将D点坐标代入抛物线的解析式中即可判定出是否存在这样的点．