Question

已知两直线l₁，l₂分别经过点A（1，0），点B（－3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₂交于点K，如图所示．

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

（2）抛物线的对称轴被直线l₁、抛物线、直线l₂和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；

（3）当直线l₂绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：

Answer

【解析】
由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，

又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴，∴点C的坐标是

由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入

函数解析式得

所以，抛物线的函数解析式为；

（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．

（3）当点M的坐标分别为时，△ MCK为等腰三角形．

（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），

又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，

∴△CGK为正三角形

∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，），

（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，

∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，），

（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，

但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，

综上所述，当点M的坐标分别为时，△MCK为等腰三角形．

【解析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可求出OC的长，由此确定点C的坐标；知道A、B、C三点坐标后，利用待定系数法可确定该抛物线的解析式．

（2）先求得直线l1的解析式为，抛物线的对称轴为直线x=1，由此可求得点K的坐标为（﹣1，），点D的坐标为（﹣1，），点E的坐标为（﹣1，），点F的坐标为（﹣1，0），即得，从而得到结果；

（3）从题干的旋转条件来看，直线l1旋转的范围应该是l1、l2中间的部分，而△MCK的腰和底并不明确，

所以分情况讨论：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；求出点K的坐标、∠BCO的度数结合上述三种情况求解．