Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，O为BC的中点。

（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论。

Answer

（1）OA=OB=OC（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，证明见解析

【解析】【解析】
（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA=OB=OC；

（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，

证明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，

∴OA=OB=OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，

∴∠AOB=90°，∠B=∠C=45°，∠BAO=∠CAO=45°，

∴∠CAO=∠B，

在△BOM和△AON中

AN=BM，∠CAO=∠B，OA=OB

∴△BOM≌△AON（SAS），

∴OM=ON，∠AON=∠BOM，

∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°，

∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形．（1）根据直角三角形斜边上中线性质推出即可；

（2）根据等腰三角形性质求出∠B=∠C=45°=∠BOA=∠CAO，根据SAS证△BOM≌△AON，推出OM=ON，∠AON=∠BOM，求出∠MON=90°，根据等腰直角三角形的判定推出即可．