Question

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE＝β．

（1）如图1，若α＝90°，求β的大小；

（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时（画出图形），（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请直接写出α与β之间的数量关系．

Answer

（1）90°（2）α+β=180°，证明见解析（3）不成立，α=β

【解析】【解析】
（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°．

∵∠DAB=α-∠DAC，∠EAC=α-∠DAC，

∴∠EAC=∠DAB．

又AB=AC，AD=AE，

∴△DAB≌△EAC．

∴∠ECA=∠B=45°．

∴β=∠ACB+ECA=90°．

（2）α+β=180°．

证明：∵∠BAC=∠DAE=α，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．

即∠BAD=∠CAE．

又AB=AC，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE．

∴∠B=∠ACE．

∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．

∴∠B+∠ACB=β．

∵α+∠B+∠ACB=180°，

∴α+β=180°．

（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论不能成立，此时：α=β成立．

其理由如下：

类似（2）可证∴△DAB≌△ECA，

∴∠DBA=∠ECA，

又由三角形外角性质有∠DBA=α+∠DCA，

而∠ACE=β+∠DCA，

∴α=β．

（1）先利用边角边定理证明△DAB与△EAC全等，再根据全等三角形的对应角相等得到∠ECA=∠B=45°，β的值即可求出；

（2）方法同（1）证出∠ECA=∠B，所以∠B+∠ACB=β，再根据三角形内角和定理即可得到α+β=180°；

（3）方法同（2）证出∠ECA=∠ABD，所以α+∠DCA=β+∠DCA，所以α=β．